문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 순서 관계 (문단 편집) == 용어 == * 비교 가능성(comparability) 부분순서집합 [math(\left(A, \leq \right))]가 주어졌을 때, 집합 [math(A)]의 두 원소 [math(a, b)]가 [math(a \leq b)]이거나 [math(b \leq a)]이면 a와 b는 '''비교 가능하다(comparable)'''고 하며, 그렇지 않으면 a와 b는 '''비교 불가능하다(incomparable)'''고 한다. * 극대 원소, 극소 원소 부분순서집합 [math(\left(A, \leq \right))]가 주어졌을 때, 집합 [math(A)]의 모든 원소 [math(x)]에 대하여 [math(M \leq x \implies x=M)]을 만족시키는 집합 [math(A)]의 원소 [math(M)]을 집합 [math(A)]의 '''극대 원소(Maximal element)'''라고 하며, 반대로 집합 [math(A)]의 모든 원소 [math(x)]에 대하여 [math(x \leq m \implies x=m)]을 만족시키는 집합 [math(A)]의 원소 [math(m)]을 집합 [math(A)]의 '''극소 원소(Minimal element)'''라고 한다. 극대, 극소 원소는 한 부분순서집합 내에서 여러 개가 존재할 수도 있고, 아예 존재하지 않을 수도 있다. * 최대 원소, 최소 원소 부분순서집합 [math(\left(A, \leq \right))]가 주어졌을 때, 집합 [math(A)]의 모든 원소 [math(x)]에 대하여 [math(x \leq M)]을 만족시키는 집합 [math(A)]의 원소 [math(M)]을 집합 [math(A)]의 '''최대 원소(Greatest element)'''라고 하며, 반대로 집합 [math(A)]의 모든 원소 [math(x)]에 대하여 [math(m \leq x)]를 만족시키는 집합 [math(A)]의 원소 [math(m)]을 집합 [math(A)]의 '''최소 원소(Least element)'''라고 한다. 최대, 최소 원소의 개념의 핵심은 부분순서집합의 모든 원소가 그 원소에 대하여 비교 가능해야 한다는 것이다. 만약 비교 가능하지 않은 원소가 하나라도 존재한다면 최대, 최소 원소가 될 수 없다. 최대, 최소 원소는 아예 존재하지 않을 수도 있지만, 한 부분순서집합 내에서 둘 이상 존재할 수 없다. 또한 모든 최대, 최소 원소는 각각 극대, 극소 원소가 된다. 한편 모든 유한한 전순서관계는 최대 원소와 최소 원소를 갖지만 어떤 부분순서집합이 최대, 최소 원소를 갖는다고 해서 반드시 전순서집합이 되는 것은 아니다. 왜냐하면 최대, 최소 원소를 제외한 다른 원소들 사이에 비교 가능하지 않은 원소의 쌍이 존재할 수 있기 때문이다. * 상계, 하계, 상한, 하한 실수 체계에서의 정의와 유사하다. 부분순서집합 [math(\left(A, \leq \right))]와 집합 [math(A)]의 부분집합 [math(E)]가 주어졌을 때, 집합 [math(E)]의 모든 원소 [math(x)]에 대하여 [math(x \leq M)]을 만족시키는 집합 [math(A)]의 원소 [math(M)]을 집합 [math(E)]의 '''상계(Upper Bound)'''라고 하며, 반대로 집합 [math(E)]의 모든 원소 [math(x)]에 대하여 [math(m \leq x)]를 만족시키는 집합 [math(A)]의 원소 [math(m)]을 집합 [math(A)]의 '''하계(Lower Bound)'''라고 한다. 집합 [math(E)]의 상계 집합의 최소 원소를 집합 [math(E)]의 '''상한(Supremum)''' 또는 '''최소 상계(Least Upper Bound)'''라 하고, 하계 집합의 최대 원소를 '''하한(Infimum)''' 또는 '''최대 하계(Greatest Lower Bound)'''라 한다. 실수 집합의 경우 완비성 공리(Completeness Axiom)에 의해서 상계(하계)를 가지면 상한(하한)을 반드시 가졌다. 하지만 일반적으로는 상계와 하계를 갖는다고 해서 상한과 하한이 반드시 존재하는 것은 아니다. 유리수 집합의 부분집합으로 '제곱이 2보다 작은 수의 집합'을 생각해 보자. 이 집합의 상계는 1.5, 2, 3, 100 등 수도 없이 많이 존재하지만, 상한은 없다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기